Здравей,
Не мога да разбера въпросът ти - в какъв смисъл да проверява акаунта - Докато проверяваш акаунта си през браузера на Мозила или чрез мейл клиент ?
Ако е първия вариант - отговорът е да, тъй като Интернет Щита проверява целия Http трафик на браузера.
А ако питаш за проверка на акаунта чрез мейл клиент - тук отговорът е зависи

Тъй като gmail използва ssl връзка (тоест криптирана връзка) единствения компонент който може да извърши проверката е услугата Outlook\Exchange , която работи като plug-in към Outlook - тоест може да се извършва проврека на мейл клиента само ако ползваш Outlook за тази цел.
